Tablas Matemáticas de David: Derivadas Hiperbolicas

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sinh(x) = cosh(x) cosh(x) = sinh(x) tanh(x) = 1 - tanh(x)2 csch(x) = -coth(x)csch(x) sech(x) = -tanh(x)sech(x) coth(x) = 1 - coth(x)2

Demostraciones de las Derivadas de los Hiperbolicas.

Demostración de sinh(x) = cosh(x) : Desde la derivada de e^x

Dando: sinh(x) = ( e^x - e^-x )/2; cosh(x) = (e^x + e^-x)/2; ( f(x)+g(x) ) = f(x) + g(x); La regla de la cadena; ( c*f(x) ) = c f(x).
Resuelva:

sinh(x)= ( e^x- e^-x )/2 = 1/2 (e^x) -1/2 (e^-x)

= 1/2 e^x + 1/2 e^-x = ( e^x + e^-x )/2 = cosh(x)       Q.E.D

Demostración de cosh(x) = sinh(x) : Desde la derivada de e^x

Given: sinh(x) = ( e^x - e^-x )/2; cosh(x) = (e^x + e^-x)/2; ( f(x)+g(x) ) = f(x) + g(x); La regla de la cadena; ( c*f(x) ) = c f(x).
Resuelva:

cosh(x)= ( e^x + e^-x)/2 = 1/2 (e^x) + 1/2 (e^-x)

= 1/2 e^x - 1/2 e^-x = ( e^x - e^-x )/2 = sinh(x)       Q.E.D.

Demostración de tanh(x)= 1 - tan²(x) : desde las derivadas de sinh(x) y cosh(x)

Dando: sinh(x) = cosh(x); cosh(x) = sinh(x); tanh(x) = sinh(x)/cosh(x); La Regla de Cocientes.
Resuelva:

tanh(x)= sinh(x)/cosh(x)

= ( cosh(x) sinh(x) - sinh(x) cosh(x) ) / cosh²(x)

= ( cosh(x) cosh(x) - sinh(x) sinh(x) ) / cosh²(x) = 1 - tanh²(x)       Q.E.D.

Demostración de csch(x)= -coth(x)csch(x), sech(x) = -tanh(x)sech(x), coth(x) = 1 - coth^2(x) : Desde las derivadadas de sus funciones recíprocas

Dando: sinh(x) = cosh(x); cosh(x) = sinh(x); tanh(x) = 1 - tanh²(x); csch(x) = 1/sinh(x); sech(x) = 1/cosh(x); coth(x) = 1/tanh(x); La Regla de Cocientes.

csch(x)= 1/sinh(x)= ( sinh(x) 1 - 1 sinh(x))/sinh²(x) = -cosh(x)/sinh²(x) = -coth(x)csch(x)

sech(x)= 1/cosh(x)= ( cosh(x) 1 - 1 cosh(x))/cosh²(x) = -sinh(x)/cosh²(x) = -tanh(x)sech(x)

coth(x)= 1/tanh(x)= ( tanh(x) 1 - 1 tanh(x))/tanh²(x) = (tanh²(x) - 1)/tanh²(x) = 1 - coth²(x)